V tamojšom kostole sv. Michala ho pokrstili 22.marca 1842 za prítomnosti jeho krstných rodičov Jána Böhma a Daniely K. Brančíkovej. Základné štúdiá získal mladý Brančík u svojho otca Karola Brančíka, ktorý bol učiteľom a tiež správcom na panstve baróna Šimona Sinu v Starej Bystrici. Neskôr pôsobil v Gbeľanoch pri Varíne. Matka Emília, rodená Höfflerová, bola domácou. Mal dve sestry, Hermínu, vydatú Tombolovú a Rozáliu, vydatú Világhovú.
Základné vzdelanie nadobudol v rodisku. Stredoškolské štúdiá absolvoval na gymnáziu v Žiline, na evanjelických lýceách v Českom Těšíne, Bratislave a v Šoproni, kde maturoval. Po maturite študoval medicínu na univerzite vo Viedni, neskôr prešiel na Karlovu univerzitu do Prahy a štúdiá dokončil 23. januára 1872 v Štajerskom Hradci (Graz), kde ho promovali za doktora všetkých lekárskych vied. Svoje poznatky o flóre Devínskej Kobyly a Rozsutca publikoval už počas štúdií vo Viedni v roku 1862 v časopise Österreichische botanische Zeitschrift. Jeho záujem sa v tom čase upriamil na bádanie hmyzu (chrobáky, rovno- a rovnakokrídlovce, blanokrídlovce, dvojkrídlovce, bzdochy) a mäkkýše. Tam publikoval a vydal aj svoju prvú monografiu Die Käfer der Steiermark (1871).
V roku 1873 začal pôsobiť ako obvodný lekár v Beckove, kde sa oženil s Pavlou Borikovou (1849-1929), dcérou kysuckonovomestského notára Ladislava Borika.
Bolo to 8. februára 1872 v rímskokatolíckom kostole v Kysuckom Novom Meste. V ich manželstve sa postupne narodili deti: Emília Mária, neskôr sa vydala za trenčianskeho právnika Dr. Kolomana Langeho. Karol, ktorý zostal pravdepodobne slobodným a Irena sa vydala za vojenského dôstojníka Andora Péterfiho. Po roku pôsobenia v Beckove prišiel do Trenčína, kde sa stal okresným lekárom, v roku 1878 riaditeľom župnej nemocnice a od roku 1879 bol hlavným župným lekárom. Súčasne bol od r. 1904 i súdnym lekárom a menovali ho za kráľovského radcu a stal sa aj členom mestského zastupiteľstva.
Karol Brančík pôsobil v Trenčíne vyše 40 rokov. Vede venoval všetok svoj voľný čas. Pracoval tam ako lekár, kultúrny pracovník i ako prírodovedec svetového mena.
Prispieval pravidelne do dvojjazyčných ročeniek spolku a múzea. Z oblasti prírodných vied dominujú farebné a čiernobiele kresby blanokrídlového hmyzu, mäkkýše, ulitníky. Zo Slovenska sú zaujímavé kresby Manínskej úžiny, plán jaskyne v Pružine, Súľovské skaly, horské zátišia, kresby Trenčianskeho hradu z roku 1884, zrúcaniny hradu Lednica, portálu barokovej budovy šľachtického konviktu v Trenčíne, pôvodnej hlavnej železničnej staničnej budovy v Trenčíne, zrúcaniny hradu Vršatec.
Okrem výtvarného stvárnenia záberov sa K. Brančík okrajovo venoval i fotografii. Aj keď sám veľa nefotografoval, bol ich zberateľom. Zo svojich balkánskych ciest zhromaždil fotografie od tamojších profesionálnych fotografov a niektoré aj uverejnil v Ročenkách spolku. Karol Brančík sa najviac zaoberal botanikou a zoológiou. Pracoval v oblasti entomológie. V tejto oblasti spracoval chrobákov (Coleoptera), rovnakokrídlovce (Orthoptera), rozličnokrídly hmyz (Hemiptera), blanokrídlovce (Hymenoptera), motýle (Lepidoptera) a dvojkrídlovce (Diptera). V ročenkách z roku 1879 a 1906 uverejnil zoznamy chrobákov z Trenčianskej stolice. Jeho zbierka chrobákov a motýľov mala vyše 150-tisíc exemplárov hmyzu, z toho 31-tisíc druhov a variet. Zbierka mäkkýšov obsahovala 100-tisíc exemplárov. Popri tom popísal asi do 200 úplne nových druhov a aberácií.
Karol Brančík publikoval vedecké články a štúdie i v odborných zahraničných časopisoch v Nemecku, Rakúsku.
I keď K. Brančík pracoval predovšetkým ako zoológ, mal veľké zásluhy i na regionálnom botanickom výskume. Svoje botanické výskumy vykonával hlavne v okolí Trenčína, ale aj na území celej Trenčianskej župy, na Rozsutci, Choči, v Malej Fatre, vo Vysokých Tatrách i v okolí Bratislavy. Opísal aj niektoré nové lokality. Jeho herbár obsahoval 9700 položiek, ktoré získal vlastným zberom
i výmenou. Časť zbierok je uložená v Trenčianskom múzeu a časť v Slovenskom národnom múzeu v Bratislave. Zaslúžil sa o zriadenie a otvorenie (20. 5. 1906) botanickej záhrady v Mestskom parku v Trenčíne.
Z rozmiestnenia rastlín na jednotlivých plochách vidieť, že K. Brančík vysádzal vedľa seba druhy, ktoré mali rozličné nároky na stanovište a preto mnohé po čase vyhynuli.
Ako lekár urobil opatrenia v prevencii a dodržiavaní pravidiel hygieny v celej Trenčianskej župe, najmä na Kysuciach. Viedol úspešný boj s nákazlivým zápalom očnej spojivky a rohovky oka, ktorý bol rozšírený najmä na Kysuciach,
v okolí Žiliny a Bytče, za čo ho 13. novembra 1904 vymenovali za kráľovského radcu.
MUDr. Karol Brančík cez prvú svetovú vojnu ochorel a po ťažkej dlhej chorobe 18. novembra 1915 zomrel v Trenčíne. Tam je aj
s manželkou pochovaný v rodinnej hrobke na mestskom cintoríne.
V súčasnosti nám MUDr. Karola Brančíka pripomína pamätná medaila a pamätná tabuľa na ZŠ v Starej Bystrici, ktorú odhalili 18. decembra 1965 a na dome, kde v Trenčíne býval, odhalili v roku 1967 bustu s pamätnou tabuľou. Autor busty je akademický sochár M. Struhárik. V Starej Bystrici v roku 2005 bola na rínku sv. Michala odhalená pamätná busta od akademického sochára Martina Pallu.
